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如何快速解决三元一次方程组

来源:我爱数学网 2024-06-11 06:16:02

  三元一次方程组高中数学中的重要内容之一,解题方法多种多样,但方法比较繁琐,不于快速解题我爱数学网www.pamhalpinlaw.net。本文将介绍一种快速解决三元一次方程组的方法我 爱 数 学 网

如何快速解决三元一次方程组(1)

一、高斯元法

  高斯元法求解性方程组的一种基本方法,也可以用来解决三元一次方程组我~爱~数~学~网体步骤如下:

  1. 将三元一次方程组写成增广矩阵的形式,即:

  $$

  \left[

  \begin{matrix}

  a_{11} & a_{12} & a_{13} & b_1 \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\

  a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \\

  \end{matrix}

  \right]

  $$

  2. 将第一行的第一个元素变为1,即:

  $$

  \left[

  \begin{matrix}

1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{b_1}{a_{11}} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & b_2 \\

  a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \\

  \end{matrix}

  \right]

$$

  3. 将第二行的第一个元素变为0,即:

  $$

  \left[

  \begin{matrix}

1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{b_1}{a_{11}} \\

  0 & a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}} & a_{23}-\frac{a_{21}a_{13}}{a_{11}} & b_2-\frac{a_{21}b_1}{a_{11}} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & b_3 \\

\end{matrix}

  \right]

$$

  4. 将第三行的第一个元素变为0,即:

  $$

  \left[

  \begin{matrix}

  1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{b_1}{a_{11}} \\

  0 & a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}} & a_{23}-\frac{a_{21}a_{13}}{a_{11}} & b_2-\frac{a_{21}b_1}{a_{11}} \\

  0 & a_{32}-\frac{a_{31}a_{12}}{a_{11}} & a_{33}-\frac{a_{31}a_{13}}{a_{11}} & b_3-\frac{a_{31}b_1}{a_{11}} \\

\end{matrix}

  \right]

  $$

  5. 将第二行的第二个元素变为1,即:

$$

  \left[

  \begin{matrix}

1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{b_1}{a_{11}} \\

0 & 1 & \frac{a_{23}-\frac{a_{21}a_{13}}{a_{11}}}{a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}} & \frac{b_2-\frac{a_{21}b_1}{a_{11}}}{a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}} \\

  0 & a_{32}-\frac{a_{31}a_{12}}{a_{11}} & a_{33}-\frac{a_{31}a_{13}}{a_{11}} & b_3-\frac{a_{31}b_1}{a_{11}} \\

  \end{matrix}

  \right]

  $$

  6. 将第三行的第二个元素变为0,即:

  $$

  \left[

\begin{matrix}

1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{b_1}{a_{11}} \\

  0 & 1 & \frac{a_{23}-\frac{a_{21}a_{13}}{a_{11}}}{a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}} & \frac{b_2-\frac{a_{21}b_1}{a_{11}}}{a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}} \\

  0 & 0 & a_{33}-\frac{a_{31}a_{13}(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})}{a_{11}(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})(a_{32}-\frac{a_{31}a_{12}}{a_{11}})} & b_3-\frac{a_{31}b_1(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})}{a_{11}(a_{32}-\frac{a_{31}a_{12}}{a_{11}})(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})} \\

  \end{matrix}

  \right]

$$

7. 将第三行的第三个元素变为1,即:

  $$

  \left[

\begin{matrix}

1 & \frac{a_{12}}{a_{11}} & \frac{a_{13}}{a_{11}} & \frac{b_1}{a_{11}} \\

0 & 1 & \frac{a_{23}-\frac{a_{21}a_{13}}{a_{11}}}{a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}} & \frac{b_2-\frac{a_{21}b_1}{a_{11}}}{a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}} \\

  0 & 0 & 1 & \frac{b_3-\frac{a_{31}b_1(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})}{a_{11}(a_{32}-\frac{a_{31}a_{12}}{a_{11}})(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})}}{a_{33}-\frac{a_{31}a_{13}(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})}{a_{11}(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})(a_{32}-\frac{a_{31}a_{12}}{a_{11}})}} \\

\end{matrix}

\right]

  $$

  8. 代入求解,即:

  $$

\begin{cases}

x=\frac{b_1}{a_{11}}-\frac{a_{12}}{a_{11}}y-\frac{a_{13}}{a_{11}}z \\

y=\frac{b_2-\frac{a_{21}b_1}{a_{11}}}{a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}}-\frac{a_{23}-\frac{a_{21}a_{13}}{a_{11}}}{a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}}}z \\

  z=\frac{b_3-\frac{a_{31}b_1(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})}{a_{11}(a_{32}-\frac{a_{31}a_{12}}{a_{11}})(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})}}{a_{33}-\frac{a_{31}a_{13}(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})}{a_{11}(a_{22}-\frac{a_{21}a_{12}}{a_{11}})(a_{32}-\frac{a_{31}a_{12}}{a_{11}})}} \\

  \end{cases}

$$

二、实例演练

现在我们来看一个体的例子:

  $$

\begin{cases}

  2x+3y+z=6 \\

  x+2y+3z=7 \\

3x+4y+5z=15 \\

  \end{cases}

$$

  将其转化为增广矩阵的形式:

$$

  \left[

\begin{matrix}

2 & 3 & 1 & 6 \\

  1 & 2 & 3 & 7 \\

  3 & 4 & 5 & 15 \\

\end{matrix}

  \right]

  $$

  按照高斯元法的步骤,依次进行变换,最终得到:

$$

\begin{cases}

  x=1 \\

  y=2 \\

  z=1 \\

  \end{cases}

  $$

  因此,原方程组的解为$(1,2,1)$原文www.pamhalpinlaw.net

如何快速解决三元一次方程组(2)

三、总结

高斯元法一种比较通用的解决性方程组的方法,也可以用来解决三元一次方程组www.pamhalpinlaw.net。它的优能够快速求解,但需要注意的,如果系数矩阵中存在0元素,可能会导致解或穷解的情况原文www.pamhalpinlaw.net。在实际解题中,需要根据体情况进行分析,择合适的方法求解NbjN

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